CTSR: Cartesian tensor-based sparse regression for data-driven discovery of high-dimensional invariant governing equations

（Cartesian tensorベースのスパース回帰による高次元不変支配方程式のデータ駆動発見）

田中専務

拓海先生、お忙しいところ失礼します。最近、データから方程式を発見する研究が増えていると聞きましたが、当社の生産現場でも使えるものなのでしょうか。投資対効果の感覚がまだ掴めず、現場に導入して本当に利益につながるのか心配です。

AIメンター拓海

素晴らしい着眼点ですね！大丈夫、一緒に整理すれば分かりますよ。今回紹介する方法は、CTSR（Cartesian tensor-based sparse regression＝カルテシアンテンソルベースのスパース回帰）という技術で、要点をまず3つだけ挙げます。1）回転や反転といった向きの変化に強い、2）高次元データでも計算負荷を抑えられる、3）現場データから自動で支配方程式を見つけることができる、という点です。

田中専務

ほう、それは現場で言えば装置の向きや設置場所が変わっても同じように使えるということですか。なるほど。ただ、高次元というのはどういう意味でしょうか。うちのデータは多い日でもセンサー数は数十個程度です。

AIメンター拓海

いい質問です。高次元とは単にセンサー数を指すだけでなく、状態の組み合わせが複雑で記述変数が多い状況を指します。たとえば温度、圧力、速度といった複数の物理量が相互に影響し合うと、モデルは高次元になるんですよ。CTSRはそうした複雑な変数の絡み合いを、向きに左右されずに捉えられることがメリットです。

田中専務

なるほど、向きや回転に強いのは魅力ですね。ただ、実務ではデータがノイズまみれで、サンプリングもまばらです。そういう雑なデータでもちゃんと方程式を見つけられるものなんでしょうか。

AIメンター拓海

素晴らしい着眼点ですね！CTSRはスパース回帰（sparse regression＝少数要因回帰）を使って、影響のある項だけを選び出す性質がありますから、ノイズの影響を受けにくく、サンプリング点が少なくても重要な構造を拾いやすいんです。とはいえ、まったく無秩序なデータでは限界があるため、最低限の品質は必要です。

田中専務

これって要するに、無駄な説明変数を自動で切って、本当に効いている要因だけで方程式を作るということですか。だとすれば運用コストは下がりそうです。

AIメンター拓海

その通りです。ポイントは3つです。1）スパース回帰が説明を絞る、2）カルテシアンテンソル（Cartesian tensor＝直交座標系テンソル）形式を使うことで回転や反射に不変、3）Pareto分析でハイパーパラメータを合理的に選ぶ、これらで現場での運用コストを抑えられるんです。大丈夫、一緒にやれば導入は可能ですよ。

田中専務

Pareto分析というのは聞いたことがあります。要するに重要度とコストのバランスを見て落とすものを決めるんですよね。とはいえ、実装にどの程度の工数がかかるのか教えてください。現場の作業を止めずに試験できるのが理想です。

AIメンター拓海

素晴らしい着眼点ですね！実務の流れとしては3段階がおすすめです。1）既存データで検証する小さなパイロット、2）現場での限定運用でフィードバックを得る、3）全体展開で運用ルール化する、という流れです。工数はデータ準備と初期検証に集中するため、現場停止はほとんど不要です。

田中専務

わかりました。最後に一つ確認ですが、こうした方法はブラックボックスになりませんか。現場で工程調整する人間が結果の意味を理解できないと意味がないと思っています。

AIメンター拓海

素晴らしい着眼点ですね！CTSRはむしろ解釈性を重視するアプローチです。スパース化により重要な物理項だけが残るため、従来のブラックボックス学習より現場の説明がしやすいのが特徴です。ですから、結果を現場の言葉に落とし込んで運用することが可能です。大丈夫、一緒にルール化できますよ。

田中専務

承知しました。では要点を自分の言葉でまとめます。CTSRは方位の違いに強く、重要な要因だけを自動で抽出できるから、うちの現場データでも実用的に使えて、段階的に導入すれば現場停止も少なくて済むということですね。

1.概要と位置づけ

結論から述べる。本研究はCTSR（Cartesian tensor-based sparse regression＝カルテシアンテンソルベースのスパース回帰）という枠組みを提示し、高次元の物理系に対して回転や反転などの空間不変性を保ったまま、データから支配方程式を効率よく発見できる点で既存手法を大きく前進させた。なぜ重要かというと、実際の産業現場や流体力学などでは変数同士が多層に絡み合い、向きや座標系に依存しない普遍的な法則を見つけることが解析上不可欠だからである。本手法はテンソル表現を用いることで、不変性の担保と計算効率を両立させ、従来のスカラー指向の発見アルゴリズムでは対応しきれなかった高次元問題に対する実用的なアプローチを提供する。投資対効果の観点では、従来必要だった専門的な物理知識や複雑な手作業を削減できる点が運用コストの低減につながる。実務導入では、まず既存データでの検証を行い、次いで限定的な現場適用で妥当性を確認する段階的アプローチが現実的である。

2.先行研究との差別化ポイント

従来のデータ駆動型方程式発見法は主にスカラー量を前提としており、座標変換に対する不変性を保証しないため、装置の向きや測定座標が変わると再学習が必要になることが多かった。これに対しCTSRはカルテシアンテンソル（Cartesian tensor＝直交座標系テンソル）表現を用いることで、回転や反射といった幾何学的不変性を数式レベルで満たす点が根本的な差別化である。さらに、既存のテンソルベース手法ではテンソル基底の構築に複雑な理論や追加の仮定を要することが多かったが、本手法は比較的単純なテンソル表現とスパース回帰を組み合わせることで、汎用性と計算効率を両立している。実験比較では2D・3Dの複数の方程式で精度と実行時間の優位性が示されており、特に高次元領域での拡張性が評価される点が重要である。つまり、本研究は不変性の数学的担保と現実的な計算負荷の両立を実現した点で先行研究から一段上の適用可能性を示している。

3.中核となる技術的要素

本手法の核は三つの要素である。第一はカルテシアンテンソル形式による目標方程式の定式化であり、これにより回転や反射に対する不変性が自動的に成立する。第二はスパース回帰（sparse regression＝少数要因回帰）であり、説明変数の中から実際に影響を持つ項のみを選び出して過学習やノイズの影響を抑える。第三はTrainSTRidgeという学習アルゴリズムと、Pareto分析を用いたハイパーパラメータ選択の組み合わせで、モデルの選択を合理化すると同時に計算効率を確保している。これらを組み合わせることで、テンソルの扱いに伴う理論的煩雑さを避けつつ、物理的解釈が可能な方程式をデータから抽出できる。実務ではこれが、現場のデータ品質やサンプリング条件に対する耐性として現れる。

4.有効性の検証方法と成果

研究では二次元（2D）のBurgers方程式とNavier–Stokes方程式、三次元（3D）のNavier–Stokes方程式とGiesekus方程式という難易度の異なる四つのケースで手法を検証している。評価軸は発見した方程式の精度、ノイズ耐性、サンプリング点数に対する感度、及び実行時間であり、いずれのケースでも従来手法に対する優位性が示された。特に高次元ケースでは、テンソル表現により回転不変性を保持したまま高精度な復元が可能であり、サンプリング点が比較的少ない状況でも主要項の回復精度が高い点が目立つ。これにより、現場で取得されるまばらなセンサーデータからでも有用な方程式を導ける可能性が示された。実行時間の面でも、複雑なテンソル基底を逐一構築する手法と比べて計算コストを抑えられる傾向が報告されている。

5.研究を巡る議論と課題

有効性は示された一方で、課題も明確である。まず、テンソル表現の採用により理論上は不変性を保証できるが、現実のセンサー測定誤差や非理想境界条件に対する影響評価がまだ限定的である点が挙げられる。次に、サンプリング設計やデータ前処理の重要性であり、データ品質が極端に低い場合は復元性能が低下する可能性がある。また、より複雑な物性や境界条件を持つ実システムへの適用性をさらに検証する必要がある。加えて、実運用に向けた自動化ワークフローの整備、現場技術者が結果を解釈できる形での可視化と説明手法の構築も今後の重要課題である。これらを解決するためには、産学連携での現場適用実験と長期データ収集が不可欠である。

6.今後の調査・学習の方向性

今後は三つの方向で研究と実践を進めるべきである。第一に、現場データの前処理やノイズ対策を標準化し、CTSRの耐ノイズ性を実務レベルで検証すること。第二に、産業現場での限定的パイロットを通してサンプリング設計と運用ルールを確立し、現場技術者と共同で解釈可能な出力形式を整備すること。第三に、CTSRを既存の制御系やデジタルツインと連携させる研究を進め、発見された方程式を実際の運転最適化や故障予知に繋げること。学習の観点では、テンソル代数の直感的理解とスパース回帰の実務的な使い方を現場に落とし込む教育が重要であり、短期集中のワークショップが有効である。検索に使える英語キーワードとしては、”Cartesian tensor”, “sparse regression”, “governing equation discovery”, “TrainSTRidge”, “invariant equation discovery” を参照されたい。

会議で使えるフレーズ集

・「CTSRは座標変換に強いテンソル表現を用いるため、装置の向きが変わっても再学習の必要が少ない点が強みです。」

・「スパース回帰により重要な要因だけを抽出するため、現場での解釈性と運用コスト低減が期待できます。」

・「まず既存データで検証し、限定的な現場導入で結果を評価してから全社展開する段階的戦略を提案します。」

B. Zhang et al., “CTSR: Cartesian tensor-based sparse regression for data-driven discovery of high-dimensional invariant governing equations,” arXiv preprint arXiv:2504.07618v2, 2025.