拓海先生、最近若手から「格子を使ってルールを補完する論文が面白い」と聞いたのですが、正直言って格子とか補間という言葉だけで頭が痛いんです。要するに経営判断に使える話でしょうか。
素晴らしい着眼点ですね！大丈夫、簡単にできますよ。端的に言うと、この論文は「部分的に知られているルールや値から、格子という枠組みで整合する全体ルールをつくれるか」を扱っています。経営で言えば、現場の断片的な判断基準を整備して、一貫した意思決定ルールに落とし込めるかどうかを数学的に示したものですよ。
なるほど、部分情報から全体ルールを作るというと、現場の「もし〜なら」の断片を経営判断ルールにまとめるイメージですか。それができれば投資対効果は見えやすくなりそうですけれども、具体的に何を条件にすれば良いのでしょうか。
いい質問です。まず前提用語を３点で整理します。1) distributive lattice (DL) 分配格子―値どうしが「合う（join）」「交わる（meet）」という操作で扱える順序構造です。2) lattice polynomial function (LPF) 格子多項式関数―合いや交わりを組み合わせて作るルールです。3) interpolation 補間―既知の点に合うように全体ルールを作る作業です。これらを踏まえると次が見えますよ。
これって要するに、部分的にある判断基準が『単調であれば』全体のルールに伸ばせるということですか。それが昔の定理（Goodsteinの件）と今回の違いでしょうか。
素晴らしい着眼点ですね！概ねその通りですが一歩踏み込むと違いがあります。従来のGoodsteinの定理は0と1の頂点だけ（つまり完全に境界値がわかっている場合）に限定され、単調性があれば唯一の解が存在すると示しました。今回の拡張では、境界が0や1である必要はなく、箱型の頂点（cuboidの各頂点）に値がある場合を扱い、単調性だけでは不十分な場合が出てくる点を明らかにしています。
それは実務的にはどういう意味を持ちますか。要するに現場のデータが完全でないときにも使えるのか、それとも逆に慎重にならねばならないのか、どちらでしょう。
良い質問です。要点は三つにまとまります。第一に、単調性は必要条件だが十分ではないこと。第二に、補間が可能な場合、今回の結果は「考えうる全ての補間解」を列挙できる点で有益であること。第三に、唯一解がない場合でも実務では追加条件を与えることで解を特定できるため、慎重に設計すれば使えることです。大丈夫、一緒にやれば必ずできますよ。
なるほど。現場の判断基準にばらつきがあるなら、追加で方針（制約）を入れてやればよいということですね。これなら我々の業務でも扱えそうです。では最後に、私のような経営者が会議で使える短いまとめを一言で教えてください。
いいですね、短く三点で。1) 部分的な現場ルールから一貫した経営ルールを作れる可能性がある。2) 単調性は必須だがそれだけでは足りない場面がある。3) 追加の事業ルールで多数の解から経営が望む一つを選べる—です。大丈夫、これで会議でも使えますよ。
ありがとうございます。では今日の話を踏まえて、私なりに要点を整理します。部分の判断が単調であることを確認し、不足があれば経営ルールを追加して全体を補間する。要するに「部分から全体へ、追加条件で解を定める」ということですね。
